Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，且BC=BO，D是⊙O上一動點且在AB的上方，以CD為邊在CD的下方作正方形CDFE，DF和直徑AB交于點O，連接FO，DO，AD，延長FO交AD于H．
（1）如圖1，當DF經過O時，求∠ACD的度數；
（2）如圖2，若點G恰好是OB的中點，①求證：△OGD∽△ODC；②求tan∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ODC中，求出∠ACD的值即可解決問題．
（2）①設OG=GB=a，則OB=BC=OD=2a，可知OD²=OG•OC=4a²，推出$\frac{OD}{OG}$=$\frac{OC}{OD}$，由∠DOG=∠COD，即可證明△DOG∽△COD．
②連接BD，作GM⊥AD于M，GN⊥DB于N．只要證明∠BDG=∠CDB=∠ADG，由GM⊥AD，GN⊥DB，推出GM=GN，可知S_△ADG：S_△DGB=$\frac{1}{2}$AD•GM：$\frac{1}{2}$•DB•GN=AD+DB=AG：GB=3：1，推出tan∠DAC=$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{3}$即可．

解答 （1）解：如圖1中，

∵四邊形EFDC是正方形，
∴∠ODC=90°，
∵OB=BC=OD，
∴OC=2OD，
∴sin∠ACD=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACD=30°．

（2）解：如圖2中，

①證明：設OG=GB=a，則OB=BC=OD=2a，
∴OD²=OG•OC=4a²，
∴$\frac{OD}{OG}$=$\frac{OC}{OD}$，∵∠DOG=∠COD，
∴△DOG∽△COD．

②連接BD，作GM⊥AD于M，GN⊥DB于N．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠GDC=90°，
∴∠ADG=∠CDB，
∵△DOG∽△COD，
∴∠ODG=∠DCB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODG+∠BDG=∠BDC+∠DCB，
∴∠BDG=∠CDB=∠ADG，
∵GM⊥AD，GN⊥DB，
∴GM=GN，
∵S_△ADG：S_△DGB=$\frac{1}{2}$AD•GM：$\frac{1}{2}$•DB•GN=AD+DB=AG：GB=3：1，
∴$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠DAC=$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、正方形的性質、解直角三角形、圓周角定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，本題體現了數形結合的數學思想，學會添加常用輔助線，掌握用面積法證明線段之間的關系，屬于中考壓軸題．