Question

18．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點D為三角形內一點，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度數；
（2）求證：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的長為1，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解決問題．
（2）根據兩角對應相等兩三角形相似即可判定．
（3）由△DCA∽△DAB，推出$\frac{DC}{DA}$=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AC}{BA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，又CD=1，推出AD=$\sqrt{2}$，DB=2．根據BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解決問題．

解答 （1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°-∠CDA-∠ADB=360°-135°-135°=90°．

（2）證明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB        

（3）解：∵△DCA∽△DAB，
∴$\frac{DC}{DA}$=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AC}{BA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又∵CD=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，本題的突破點是發現∠CDB=90°，屬于中考常考題型．