Question

3．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
（1）若點P是等邊三角形三條中線的交點，點P是（填是或不是）該三角形的費馬點．
（2）如果點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°．求證：△ABP∽△BCP；
（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．如圖（2）
①求∠CPD的度數；
②求證：P點為△ABC的費馬點．

Answer 1

分析 （1）依據等腰三角形三線合一的性質可知：MB平分∠ABC，則∠ABP=30°，同理∠BAP=30°，則∠APB=120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度數，然后可作出判斷；
（2）由費馬點的定義可知∠PAB=∠PBC，然后再證明∠PAB=∠PBC即可；
（3）如圖2所示：①首先證明△ACE≌△ABD，則∠1=∠2，由∠3=∠4可得到∠CPD=∠5； ②由∠CPD=60°可證明∠BPC=120°，然后證明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性質和判定定理再證明△AFP∽△CDF，故此可得到∠APF=∠ACD=60°，然后可求得∠APC=120°，接下來可求得∠APB=120°．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵AB=BC，BM是AC的中線，
∴MB平分∠ABC．
同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABP=30°，∠BAP=30°．
∴∠APB=120°．
同理：∠APC=120°，∠BPC=120°．
∴P是△ABC的費馬點．
故答案為：是．

（2）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP．

（3）如圖2所示：

①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠EAC=∠BAD}\\{EA=AB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°； 
②證明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°，
∴P點為△ABC的費馬點．

點評 本題主要考查的是相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定等知識，證得∠5=∠6、△AFP∽△CDF是解答本題的關鍵．