Question

18．在平面直角坐標系中，一次函數y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于第二、第四象限內的A，B兩點，與y軸交于C點，過A作AH⊥y軸，垂足為H，AH=4，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，點B的坐標為（m，-2）．
（1）求△AHO的周長；
（2）求該反比例函數和一次函數的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據tan∠AOH=$\frac{4}{3}$求出AH的長度，由勾股定理可求出OH的長度即可求出△AHO的周長．
（2）由（1）可知：點A的坐標為（-4，3），點A在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，從而可求出k的值，將點B的坐標代入反比例函數的解析式中求出m的值，然后將A、B兩點的坐標代入一次函數解析式中即可求出該一次函數的解析式．

解答 解：（1）∵AH⊥y軸于點H，
∴∠AHO=90°，
∴tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，AH=4，
∴OH=3，
∴由勾股定理可求出OA=5，
∴△AHO的周長為3+4+5=12
（2）由（1）可知：點A的坐標為（-4，3），
把（-4，3）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-12
∴反比例函數的解析式為：y=-$\frac{12}{x}$
∵把B（m，-2）代入反比例函數y=-$\frac{12}{x}$中
∴m=6，
∴點B的坐標為（6，-2）
將A（-4，3）和B（6，-2）代入y=ax+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-4a+b}\\{-2=6a+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴一次函數的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+1．

點評 本題考查一次函數與反比例函數的綜合問題，解題的關鍵是求出點A與B的坐標，本題屬于中等題型．