Question

8．如圖，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于點E，AF⊥CF于點F，其中0°＜∠ACF＜45°．
（1）求證：△BEC≌△CFA；
（2）若AF=5，EF=8，求BE的長；
（3）連接AB，取AB的中點為Q，連接QE，QF，判斷△QEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠B=∠ACF，即可根據(jù)AAS證明兩三角形全等．
（2）由△BEC≌△CFA，推出AF=CE=5，BE=CF，由CF=CE+EF=5+8=13，即可解決問題．
（3）△QEF是等腰直角三角形．如圖，由此EQ交AF的延長線于M．只要證明△BQE≌△AQM，即可解決問題．

解答 （1）證明：∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，
∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠B=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠BEC=∠F}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFA．

解：（2）∵△BEC≌△CFA，
∴AF=CE=5，BE=CF，
∵CF=CE+EF=5+8=13，
∴BE=13．

（3）結論：△QEF是等腰直角三角形．
理由：如圖，由此EQ交AF的延長線于M．
∵BE⊥CF，AF⊥CF，
∴BE∥AM，
∴∠BEQ=∠M，
在△BQE和△AQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEQ=∠M}\\{∠BQE=∠AQM}\\{BQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BQE≌△AQM，
∴EQ=QM，BE=AM=CF，
∵CE=AF，
∴FE=FM，
∴FQ⊥EM，QF=QM=QE，
∴△QEF是等腰直角三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會解題常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．