Question

16．【問題原型】如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，以AB所在直線為對稱軸，將△ACB翻折至△AC′B的位置，過點C′分別作BC的平行線交CA的延長線于點D，C′E∥CD交BC于點E，可得AD=EF．
【探究推廣】將圖①中的直角三角形條件改為銳角三角形，且AC＜AB，如圖②，以AB所在直線為對稱軸，將△ACB翻折至△AC′B的位置，過點C′分別作BC的平行線交CA的延長線于點D，C′E∥CD交BC于點E，猜想AD與EF的數量關系，并說明理由．
【結論應用】在圖②中，當AD=2，AC=3，S_△BEF=4時，利用探究的結論，求△ACB的面積．

Answer 1

分析 【探究推廣】根據C′D∥CE，C′E∥CD，得到四邊形DCEC′是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到CD=EC′，根據折疊的性質得到AC=AC′，∠CAB=∠C′AB，根據平行線的性質得到∠CAF=∠AFC′，等量代換得到∠C′AF=∠C′FA，根據等腰三角形的判定定理得到AC′=C′F，于是得到結論；
【結論應用】：由【探究推廣】知，AD=EF，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：【探究推廣】：AD=EF，
理由：∵C′D∥CE，C′E∥CD，
∴四邊形DCEC′是平行四邊形，
∴CD=EC′，
∵將△ACB翻折至△AC′B的位置，
∴AC=AC′，∠CAB=∠C′AB，
∵CD∥C′E，
∴∠CAF=∠AFC′，
∴∠C′AF=∠C′FA，
∴AC′=C′F，
∴C′F=AC，
∴CD-AC=C′E-C′F，即AD=EF；
【結論應用】：由【探究推廣】知，AD=EF，
∵AD=2，
∴EF=2，
∵EF∥AC，
∴△EFB∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BCA}}$=（$\frac{EF}{AC}$）²=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
∵S_△BEF=4，
∴△ACB的面積=9．

點評 本題考查了翻折變換-軸對稱問題，平行四邊形的判定和性質，平行線的性質，相似三角形的判定和性質，正確的理解題意是解題的關鍵．