Question

5．解答題（用配方法解一元二次方程）
（1）x²-3x-1=0
（2）（2x-1）²=x（3x+2）-7
（3）x²+2=2$\sqrt{2}$x
（4）x²+2=2$\sqrt{3}$x
（5）3x²-1=4x
（6）x²+2mx-n=0（m²+n≥0）

Answer 1

分析 （1）移項、配方、開方、即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后、配方、開方、即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移項、配方、開方、即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移項、配方、開方、即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）移項、系數化成1、配方、開方、即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（6）移項、配方、開方、即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）x²-3x-1=0，
x²-3x=1，
配方得：x²-3x+（$\frac{3}{2}$）²=1+（$\frac{3}{2}$）²，
（x-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{13}{4}$，
開方得：x-$\frac{3}{2}$=±$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
x₁=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；

（2）（2x-1）²=x（3x+2）-7
整理得：x²-6x=-8，
配方得：x²-6x+9=-8+9，
（x-3）²=1，
開方得：x-3=±1，
x₁=4，x₂=2；

（3）x²+2=2$\sqrt{2}$x，
x²-2$\sqrt{2}$x+（$\sqrt{2}$）²=0，
（x-$\sqrt{2}$）²=0，
x-$\sqrt{2}$=0，
即x₁=x₂=$\sqrt{2}$；

（4）x²+2=2$\sqrt{3}$x，
配方得：x²-2$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$）²=-2+（$\sqrt{3}$）²，
（x-$\sqrt{3}$）²=1，
開方得：x-$\sqrt{3}$=±1，
x₁=$\sqrt{3}$+1，x₂=$\sqrt{3}$-1；

（5）3x²-1=4x，
3x²-4x=1，
x²-$\frac{4}{3}$x=$\frac{1}{3}$，
配方得：x²-$\frac{4}{3}$x+（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²，
（x-$\frac{2}{3}$）²=$\frac{5}{9}$，
開方得：x-$\frac{2}{3}$=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
x₁=$\frac{2+\sqrt{5}}{3}$，x₂=$\frac{2-\sqrt{5}}{3}$；

（6）x²+2mx-n=0（m²+n≥0），
x²+2mx=n，
配方得：x²+2mx+m²=n+m²，
（x+m）²=n+m²，
開方得：x+m=$±\sqrt{n+{m}^{2}}$，
x₁=-m+$\sqrt{n+{m}^{2}}$，x₂=-m-$\sqrt{n+{m}^{2}}$．

點評 本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關鍵．