Question

8．如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°．點D從C出發沿CA以2個單位/s的速度向終點A運動，同時點E從A出發沿AB以1個單位/s的速度向終點B運動，DF⊥BC于F．設點D、E運動的時間是ts．
（1）求證：AE=DF．
（2）連接EF，問：是否存在t，使四邊形AEFD為菱形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
（3）連接DE、EF，當C為何值時，△DEF是直角三角形？為什么？

Answer 1

分析 （1）由“在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；
（2）而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖①′，當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，此時 AE=$\frac{1}{2}$AD，根據題意，列出關于t的方程，通過解方程來求t的值；
③如圖①″，當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°-∠A=30°，此時AD=$\frac{1}{2}$AE，根據題意，列出關于t的方程，通過解方程來求t的值．

解答 （1）證明：如圖①，
∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2t=t．
∵AE=t，
∴DF=AE；

（2）解：存在t，使四邊形AEFD為菱形，
理由是：∵在△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，
∴AB=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=5，AC=2AB=10，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∵AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴當AE=AD時，四邊形AEFD是菱形，
∵AE=t，DC=2t，
∴AD=t，
t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{3}$，
即存在t，使四邊形AEFD為菱形，此時t=$\frac{10}{3}$；

（3）解：①顯然∠DFE＜90°；
②如圖①′，
當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，
此時 AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴t=$\frac{1}{2}$（10-2t），
解得：t=$\frac{5}{2}$；
③如圖①″，
當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴10-2t=$\frac{1}{2}$t，
解得：t=4，
綜上：當t=$\frac{5}{2}$秒或4秒時，△DEF為直角三角形；

點評 本題考查了四邊形綜合題，解題時，需要綜合運用直角三角形的性質，菱形的性質以及平行四邊形的判定與性質，另外，解題時，需要分類討論．