Question

7．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，點D在BC上且BD=2CD，E，F分別在AB，AC上運動且始終保持∠EDF=45°，設BE=x，CF=y，則y與x之間的函數關系用圖象表示為：（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據等邊對等角得出∠B=∠C，再證明∠BED=∠CDF=135°-∠BDE，那么△BED∽△CDF，根據相似三角形對應邊成比例求出y與x的函數關系式，結合函數值的取值范圍即可求解．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3，
∴∠B=∠C=45°，BC=3$\sqrt{2}$．
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=135°，
∵∠EDF=45°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=135°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{BD}{CF}$．
∵BD=2CD，
∴BD=$\frac{2}{3}$BC=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{3}$BC=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{y}$，
∴y=$\frac{4}{x}$，故B、C錯誤；
∵E，F分別在AB，AC上運動，
∴0＜x≤3，0＜y≤3，故A錯誤．
故選D．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，求反比例函數的解析式，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．