Question

12．如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）經過點B，與x軸交于點A，C（點A在點C的左側），A（-1，0），C（4，0），連接AB，BC，點M（0，-$\frac{1}{2}$）為y軸負半軸上的一點，連接AM并延長交拋物線于點E，點D為線段AE上的一個動點，過點D作y軸的平行線與拋物線交于點F，與線段BC交于點N
（1）求出拋物線的表達式及直線BC的表達式
（2）在點D運動的過程中，點FN的值最大時，在線段BC上是否存在一點H，使得△FNH與△ABC相似，如果存在，求出此時H點的坐標
（3）當DF=4時，連接DC，四邊形ABCD先向上平移一定單位長度后，使點D落在x軸上，然后沿x軸向左平移n（1＜n＜4）個單位長度，用含n的表達式表示平移后的四邊形與原四邊形重疊部分的面積S（直接寫出結果）

Answer 1

分析 （1）A（-1，0），C（4，0）代入y=ax²+bx+2得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解方程組求出a、b即可，根據B、C兩點坐標利用待定系數法求出直線BC的解析式．
（2）如圖2中，設F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），則N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），構建二次函數求出FN最大時，點F的坐標，證明△ABC是直角三角形，觀察圖象可知，只有∠FHN=∠ABC=90°時，△FHN∽△CBA，求出直線FH的解析式，利用方程組即可求出點H的坐標．
（3）根據DF=4，列出方程求出m的值，分兩種情形分別求解即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（4，0）代入y=ax²+bx+2得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∵B（0，2），C（4，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．

（2）如圖2中，設F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），則N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），

∴FN=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴m=2時，FN的值最大，此時F（2，3），
∵A（-1，0），B（0，2），C（4，0），
∴OA=1，OB=2，OC=4，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠AOB=∠BOC，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠HNF=∠MNC，∠MNC+∠ACB=90°，∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠HNF=∠BAC，
∵△FNH與△ABC相似，
觀察圖象可知，只有∠FHN=∠ABC=90°時，△FHN∽△CBA，
設直線FH的解析式為y=2x+b′，把F（2，3）代入得b′=-1，
∴直線FH的解析式為y=2x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，
∴點H的坐標為（$\frac{6}{5}$，$\frac{7}{5}$）．

（3）∵A（-1，0）．M（0，-$\frac{1}{2}$），
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，D（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），
∵DF=4，
∴-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$）=4，
解得m=1或3
①當m=1時，如圖2中，1＜n≤2時，重疊部分是四邊形D′QBH，

S=S_△ABC-S_△AQD′-S_△D′HC=5-$\frac{（2-n）^{2}}{5}$-$\frac{1}{2}$•（3+n）•$\frac{3+n}{5}$=-$\frac{3}{10}$n²+$\frac{1}{5}$n+$\frac{33}{10}$，

如圖3中，2＜n＜4時，重疊部分是△QHC′，

S=$\frac{1}{2}$•HQ²=$\frac{1}{2}$•（$\frac{9\sqrt{5}-2\sqrt{5}n}{5}$）²=$\frac{2}{5}$n²-$\frac{18}{5}$n+$\frac{81}{10}$．
②當m=3時，如圖4中，1＜n＜4時，重疊部分是矩形QBHD′．

S=D′H•D′Q=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（n+1）•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（4-n）=-$\frac{2}{5}$n²+$\frac{6}{5}$n+$\frac{8}{5}$

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、相似三角形的判定和性質、多邊形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建二次函數解決最值問題，學會構建一次函數，利用方程組求兩條直線的交點坐標，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．