Question

15．某校足球隊在一次訓練中，一球員從高2.4米的球門正前方m米處將球射向球門，球射向球門的路線呈拋物線，當球飛行的水平距離為6米時，球達到最高點，此時球離地面3米，建立如圖所示的平面直角坐標系
（1）求出拋物線的函數解析式
（2）當m=10時，試判斷足球能否射入球門，并說明理由
（3）球員射門時，若滿足t₂＞m＞t₁，球部越過球門，求t₁的最小值及t₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+3，將（0，0）代入可得；
（2）求出x=10時y的值，判斷即可；
（3）分別求出y=0和y=12時x的值即可知其范圍．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+3，
將點（0，0）代入，得：36a+3=0，
解得：a=-$\frac{1}{12}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3；

（2）當m=10即x=10時，y=-$\frac{1}{12}$（10-6）²+3=$\frac{5}{3}$，
∵0＜$\frac{5}{3}$＜2.4，
∴足球能射入球門；

（3）當y=0時，-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3=0，
解得：x=0或x=12；
當y=2.4時，-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3=2.4，
解得：x=6+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$或x=6-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴6+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$≤x≤12，
即t₁的最小值為6+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，t₂的最大值為12．

點評 本題主要考查二次函數的應用，根據題意弄清球不過球門時對應的函數值的狀態是關鍵．