Question

5．若$\frac{a}{ab+a+1}$+$\frac{b}{bc+b+1}$+$\frac{c}{ca+c+1}$=1，則abc=1．

Answer 1

分析 設abc=k再設ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w根據(jù)已知條件，$\frac{a}{u}$+$\frac{b}{v}$+$\frac{c}{w}$=1，通過化簡即可得到結果．

解答 解：設abc=k
再設ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w
以上三式兩邊分別乘以c，a，b可得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根據(jù)ac+c+1=w得到：k-1+w=cu①，
abc+ab+a=av，代入abc=k并根據(jù)ab+a+1=u得到：k-1+u=av②，
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根據(jù)bc+b+1=v得到：k-1+v=bw③，
根據(jù)已知條件，$\frac{a}{u}$+$\frac{b}{v}$+$\frac{c}{w}$=1，
兩邊同乘以uvw，得到avw+buw+cuv=uvw，
下面把①式兩邊乘以v，②式兩邊乘以w，③式兩邊乘以u，三式相加得到
（k-1）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw④
①②③三式相乘，可得：（k-1+u）（k-1+v）（k-1+w）=abcuvw=kuvw，
等號左邊把（k-1）看作一項展開，把右邊的kuvw移到左邊，就有：
（k-1）³+（u+v+w）（k-1）²+（uv+vw+uw）（k-1）-uvw（k-1）=0
（k-1）[（k-1）²+（u+v+w）（k-1）+（uv+vw+uw）-uvw]=0⑤，
把④代入⑤化簡為：（k-1）³=0，
所以k=1，
即abc=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了分式的加減法，正確的化簡是解題的關鍵．