Question

20．如圖AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點E，F為AD的中點，連結EF．
（1）找出圖中所有的等腰三角形，并證明其中的一個；
（2）若AE=8，DE=6，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）圖中△ADC，△AFE，△DFE都，△ADB是等腰三角形．根據等腰三角形的判定方法一一證明即可．
（2）求出AB的長，再根據三角形的中位線定理即可解決問題．

解答 解：（1）圖中△ADC，△AFE，△DFE都，△ADB是等腰三角形．
理由：∵CD∥AB，
∴∠C=∠BAC，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠C=∠DAC，
∴△DAC是等腰三角形，
∵DB平分∠ADC，
∴DB⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AF=FD，
∴EF=AF=FD，
∴△AEF，△DFE都是等腰三角形．
∵∠AED=∠AEB=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠EAB+∠B=90°，
∵∠DAE=∠EAB，
∴∠ADE=∠B，
∴△ADB是等腰三角形．

（2）∵AD=AB，AE⊥BD，
∴DE=EB=6，
在Rt△AEB中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵DF=FA，DE=EB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=5．

點評 本題考查等腰三角形的判定和性質、三角形的中位線定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，需要用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．