Question

14．如圖，B，C，E三點(diǎn)在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE，DB．
（1）AE和DB有何大小關(guān)系，請(qǐng)說明理由；
（2）如果把△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為60°的性質(zhì)可求得△BCD≌△ACE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得AE=BD．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明方法與（1）相同．

解答 解：（1）AE=DB，
∵△ABC、△DCE均為等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．

（2）成立，
成立AE=BD；理由如下：
如圖，

∵△ABC、△DCE均為等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用及全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)待求AE與BD明確所需求證的三角形全等．