Question

20．如圖，在直角坐標系中，已知A（0，4）、B（4，0），以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，在三角形AOB內部做正方形OPQR，使P、R、Q三點分別在線段OA、OB、AB上，將正方形OPQR繞點O順時針旋轉時，求點C到點Q距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析 作CH⊥x軸于H，如圖，易得△AOB為等腰直角三角形，則AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，再利用四邊形形OPQR為正方形得到OR=BR=QR=2，所以OQ=$\sqrt{2}$OR=2$\sqrt{2}$，接著利用△BHC為等腰直角三角形得到CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，利用勾股定理計算出OC=4$\sqrt{5}$，連接OQ、CQ，如圖，利用兩點之間線段最短，當點Q在線段OC上時，CQ最短，此時CQ=OC-OQ；當點Q在線段OC的反向延長線上時，CQ最長，此時CQ=OC+OQ，從而得到點C到點Q距離的最大值與最小值．

解答 解：作CH⊥x軸于H，如圖，
∵A（0，4）、B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△AOB為等腰直角三角形，AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，
∵四邊形形OPQR為正方形，
∴OR=BR=QR=2，
∴OQ=$\sqrt{2}$OR=2$\sqrt{2}$，
易得△BHC為等腰直角三角形，
而四邊形形ABCD為正方形，
∴BC=AB=4$\sqrt{2}$，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，
在Rt△OCH中，OC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
連接OQ、CQ，如圖，
當點Q在線段OC上時，CQ最短，此時CQ=OC-OQ=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{2}$；
當點Q在線段OC的反向延長線上時，CQ最長，此時CQ=OC+OQ=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，
即點C到點Q距離的最大值為4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，最小值為4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：利用旋轉的性質畫圖或進行幾何計算．也考查了正方形的性質．