Question

11．如圖，已知點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，過點(diǎn)D作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)B（0，3）．過點(diǎn)A（5，0）的直線y=kx+b與y軸于點(diǎn)C，且BD=OC，tan∠OAC=$\frac{2}{5}$．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$和直線y=kx+b的解析式；
（2）連接CD，試判斷線段AC與線段CD的關(guān)系，并說明理由；
（3）點(diǎn)E為x軸上點(diǎn)A右側(cè)的一點(diǎn)，且AE=OC，連接BE交直線CA與點(diǎn)M，求∠BMC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得OA的長，再利用三角函數(shù)的定義可求得OC的長，可求得C、D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；
（2）由條件可證明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可證得AC⊥CD；
（3）連接AD，可證得四邊形AEBD為平行四邊形，可得出△ACD為等腰直角三角形，則可求得答案．

解答 解：
（1）∵A（5，0），
∴OA=5．
∵$tan∠OAC=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{5}$，解得OC=2，
∴C（0，-2），
∴BD=OC=2，
∵B（0，3），BD∥x軸，
∴D（-2，3），
∴m=-2×3=-6，
∴$y=\frac{-6}{x}$，
設(shè)直線AC關(guān)系式為y=kx+b，
∵過A（5，0），C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=5k+b\\-2=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{5}\\ b=-2\end{array}\right.$，
∴$y=\frac{2}{5}x-2$；
（2）∵B（0，3），C（0，-2），
∴BC=5=OA，
在△OAC和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=BC}\\{∠AOC=∠DBC}\\{OC=BD}\end{array}\right.$
∴△OAC≌△BCD（SAS），
∴AC=CD，
∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，
∴AC⊥CD；
（3）∠BMC=45°．
如圖，連接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，
∴BD∥x軸，
∴四邊形AEBD為平行四邊形，
∴AD∥BM，
∴∠BMC=∠DAC，
∵△OAC≌△BCD，
∴AC=CD，
∵AC⊥CD，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴∠BMC=∠DAC=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中求得C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得△OAC≌△BCD是解題的關(guān)鍵，在（3）中證明四邊形AEBD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．