Question

6．如圖，一次軍事演習中，藍方在-條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截．紅方行駛2000米到達C后，因前方無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西45°方向前進了相同距離，剛好在D處成功攔截藍方．
（1）求點C到公路的距離；
（2）求紅藍雙方最初的距離．（結果保留根號）

Answer 1

分析 過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E=∠F=90°；
（1）點C到公路的距離就是BE的長，在Rt△BCE中，根據三角函數可求BE的長．
（2）紅藍雙方相距AB=DF+CE．在Rt△BCE中，根據銳角三角函數的定義求出CE的長，同理，求出DF的長，進而可得出結論．

解答 解：過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E=∠F=90°，
（1）點C到公路的距離就是BE的長，
在Rt△BCE中，∵BC=2000米，∠EBC=60°，
∴BE=BC•cos60°=2000×$\frac{1}{2}$=1000米．
答：點C到公路的距離就是BE的長是1000米．

（2）紅藍雙方相距AB=DF+CE．
在Rt△BCE中，
∵BC=2000米，∠EBC=60°，
∴CE=BC•sin60°=2000×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1000$\sqrt{3}$米．
在Rt△CDF中，
∵∠F=90°，CD=2000米，∠DCF=45°，
∴DF=CD•sin45°=2000×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1000$\sqrt{2}$米，
∴AB=DF+CE=（1000$\sqrt{2}$+500$\sqrt{3}$）米．
答：紅藍雙方最初相距（1000$\sqrt{2}$+1000$\sqrt{3}$）米．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數的定義，正確理解方向角的定義，進而作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．