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19.如圖,⊙O的半徑為2,弦AB的長為2$\sqrt{3}$,以AB為直徑作⊙M,點C是優(yōu)弧$\widehat{AB}$上的一個動點,連接AC、BC,分別交⊙M于點D、E,則線段CD的最大值為2.

分析 如圖,連接OA、OB、BD.首先證明∠BDC=90°,∠CBD=30°,由此推出CD=$\frac{1}{2}$BC,欲求CD的最大值,只要求出⊙O的弦BC的最大值即可.

解答 解:如圖,連接OA、OB、BD.

∵OA=OB=2,AM=BM=$\sqrt{3}$.,
∴OM⊥AB,∠AOM=∠BOM,
∴sin∠AOM=$\frac{AM}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠AOM=60°,
∴∠AOB=2∠AOM=120°,
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°,
∵AB是⊙M的直徑,
∴∠ADM=90°,
在Rt△BCD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}$BC,
∴欲求CD的最大值,只要求出⊙O的弦BC的最大值,
∵⊙O的直徑為4,
∴弦BC的最大值為4,
∴CD的最大值為2.
故答案為2.

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的30度角性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學會添加輔助線,學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,本題的突破點是證明CD=$\frac{1}{2}$BC,求出BC的最大值,屬于中考填空題中的壓軸題.

練習冊系列答案
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