Question

14．如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E在AD邊上，DE=4AE，EF∥AC，交CD邊于點(diǎn)F，連接BE，若∠DEF=2∠ABE，BE=2$\sqrt{3}$，則線段EF的長(zhǎng)為$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 作BG⊥EF、延長(zhǎng)EF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，設(shè)AE=x，則DE=4x、AD=BC=5x，證?AEHC得AE=CH=x、證△DEF∽△CHF得$\frac{DF}{CF}$=$\frac{DE}{CH}$=$\frac{4x}{x}$=4，即DF=4CF，即可設(shè)CF=a，則DF=4a，再證△BGC∽△FCH后，設(shè)∠ABE=α，可得∠DEF=∠H=2α，由∠EBG=90°-∠ABE-∠HBG=90°-α-（90°-2α）=α=∠ABE結(jié)合∠BAE=∠BGE=90°、BE=BE，可證△ABE≌△GBE得AB=BG=5a，由$\frac{BG}{BH}=\frac{FC}{FH}$得FH=$\frac{6x}{5}$，根據(jù)勾股定理得FC=$\sqrt{F{H}^{2}-H{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，即a=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，可知AB=5a=$\sqrt{11}$x，在Rt△ABE中由AB²+AE²=BE²得x=1，從而可得DF、DE的長(zhǎng)，最后利用勾股定理可得答案．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

設(shè)AE=x，則DE=4x，AD=BC=5x，
∵AB∥CD，EF∥AC，
∴四邊形AEHC是平行四邊形，
∴AE=CH=x，
∵DE∥CH，
∴△DEF∽△CHF，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{DE}{CH}$=$\frac{4x}{x}$=4，即DF=4CF，
設(shè)CF=a，則DF=4a，
又∵∠BGH=∠FCH=90°，∠BHG=∠FHC，
∴△BGC∽△FCH，
設(shè)∠ABE=α，則∠DEF=∠H=2α，
∴∠HBG=90°-∠H=90°-2α，
∴∠EBG=90°-∠ABE-∠HBG=90°-α-（90°-2α）=α=∠ABE，
∵∠BAE=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AB=BG=5a，
∵$\frac{BG}{BH}=\frac{FC}{FH}$，即$\frac{5a}{6x}=\frac{a}{FH}$，
∴FH=$\frac{6x}{5}$，
則FC=$\sqrt{F{H}^{2}-H{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6x}{5}）^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，即a=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$
∴AB=5a=$\sqrt{11}$x，
在Rt△ABE中，由AB²+AE²=BE²得11x²+x²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=1或x=-1（舍），
則DF=4a=$\frac{4\sqrt{11}}{5}$x=$\frac{4\sqrt{11}}{5}$，DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題中線段的比值及角度的關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似問(wèn)題和全等問(wèn)題求解是解題的切入點(diǎn)．