Question

9． 已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=50，BC=64，連結BD，AE⊥BD垂足為E，
（1）求證：△ABE∽△DCB；
（2）求線段DC的長．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，從而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，結論顯然；
（2）作AF⊥BC于F，則AF=CD，FC=AD，算出BF，從而由勾股定理算出AF．

解答 解：（1）證明：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DCB；
（2）作AF⊥BC于F，如圖，

∵AD∥BC，∠C=90°，
∴AFCD是矩形，
∴FC=AD=50，AF=CD，
∴BF=BC-FC=64-50=14，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=48，
∴DC=48．

點評 本題主要考查了平行線的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識點，屬于基礎題．熟練掌握基本幾何圖形和相關定理是解答關鍵．