Question

2．如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．
（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=2時，求出四邊形ACDE的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明AC∥DE，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S_△AFO=S_△CFD，推出S_{四邊形ACDE}=S_△ODE，求出△ODE的面積即可．

解答 證明：（1）∵F為弦AC（非直徑）的中點，
∴AF=CF，
∴OD⊥AC，
∵DE切⊙O于點D，
∴OD⊥DE，
∴AC∥DE． 

（2）∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F為OD的中點，即OF=FD，又∵AF=CF，
∠AFO=∠CFD，
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S_△AFO=S_△CFD，
∴S_{四邊形ACDE}=S_△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=2，
∴OE=4，
∴DE=$\sqrt{O{E^2}-O{D^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}$=2$\sqrt{3}$
∴S_{四邊形ACDE}=S_△ODE=$\frac{1}{2}$×OD×DE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查切線的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．