Question

20．在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H（點H與點D不重合）．通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于E，延長EG交CD于F．
感知：如圖①，當點H與點C重合時，可得FG=FD（不必證明）．
探究：如圖②，當點H為邊CD上任意一點時，猜想FG與FD的數量關系，并說明理由．
應用：在圖②中，當AB=5，BE=3時，利用探究的結論，直接寫出FG的長為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 感知：連接AF，根據圖形猜想FD=FG，由折疊的性質可得AB=AG=AD，再結合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明Rt△AGF≌Rt△ADF，從而得出結論．
探究：連接AF，根據圖形猜想FD=FG，由折疊的性質可得AB=AG=AD，再結合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明Rt△AGF≌Rt△ADF，從而得出結論．
應用：設FG=x，則FC=5-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，進而可得出答案．

解答 感知：解：連接AF，如圖①所示：
由折疊的性質可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AG=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴FG=FD．
故答案為：=；
探究：解：猜想FD=FG．理由如下：
連接AF，如圖②所示：
由折疊的性質可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AG=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴FG=FD．
應用：解：設FG=x，則FC=5-x，FE=3+x，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（3+x）²=（5-x）²+2²，
解得x=$\frac{5}{4}$．
即FG的長為$\frac{5}{4}$；
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換及正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換和正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．