Question

3．如圖，等邊三角形ABC中，AB=3，點D是△ABC外一點，連接BD，將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，連接CE，點F事CE的中點，射線DF與BC邊的延長線交于點G，連接AG，若∠CBD=60°，∠ACE=90°，則線段AG的長為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 過A作AH⊥BC于H，延長BD，CE交于M，解直角三角形得到AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{3}{2}$，根據(jù)平行線的判定定理得到BC∥DE，由平行線的性質(zhì)得到∠EDF=∠CGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=DE，由將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，得到BD=DE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠M=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEM=30°，由直角三角形的性質(zhì)得到DE=BD=2DM，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：過A作AH⊥BC于H，延長BD，CE交于M，
∵等邊三角形ABC中，AB=3，
∴AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{3}{2}$，
∵∠BDE=120°，∠CBD=60°，
∴∠BDE+∠CBD=180°，
∴BC∥DE，
∴∠EDF=∠CGF，
∵點F是CE的中點，
∴DF=CF，
在△DEF與△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠CGF}\\{∠DFE=∠GFC}\\{EF=CF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GCF，
∴CG=DE，
∵將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，
∴BD=DE，
∴BD=DE=CG，
∵∠ACE=90°，∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°，
∴∠M=90°，
∵DE∥BC，
∴∠DEM=30°，
∴DE=BD=2DM，
∴BD=$\frac{2}{3}$BM，
∵BC=3，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$
∴BD=1，
∴CG=1，
∴HG=2.5，
∴AG=$\sqrt{A{H}^{2}+H{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．