Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=kx+1（k≠0）交y軸于點A，交x軸于點B（3，0），平行于y軸的直線x=2交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線x=2上一動點，且在點D的上方，設P（2，n）．
（1）求直線AB的表達式和點A的坐標；
（2）求△ABP的面積（用含n的代數式表示）；
【平行班】
（3）當S_△ABP=4時，以PB為直角邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接寫出點C的坐標．
【雙語班，實驗班】
（4）當S_△ABP=S_△BPC時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接寫出點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）把B的坐標代入直線AB的解析式，即可求得k的值，然后在解析式中，令x=0，求得y的值，即可求得A的坐標；
（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，即可求得△BPD和△PAD的面積，二者的和即可求得；
（3）當S_△ABP=4時，n-1=2，解得n=3，分兩種情況：①以P為直角頂點，②以B為直角項點，證明△CNP≌△BEP，根據三角形全等的性質可得點C的坐標；
（4）根據S_△ABP=S_△BPC列式求出n的值，同（3）可依次求出C的坐標．

解答 解：（1）∵直線AB：y=kx+1（k≠0）交y軸于點A，交x軸于點B（3，0），
∴0=3k+1，
∴k=-$\frac{1}{3}$，
直線AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1．
當x=0時，y=1，
∴點A（0，1）；

（2）如圖1、過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=2，
∵x=2時，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{1}{3}$，
∵P在點D的上方，
∴PD=n-$\frac{1}{3}$，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AM•PD=$\frac{1}{2}$×2×（n-$\frac{1}{3}$）=n-$\frac{1}{3}$；
由點B（3，0），可知點B到直線x=2的距離為1，即△BDP的邊PD上的高長為1，
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}×$1×（n-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{3}$），
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$；

（3）當S_△ABP=4時，$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$=4，解得n=3，
∴點P（2，3）．
∵E（2，0），
∴PE=3，BE=1，
①如圖2，∠CPB=90°，BP=PC，
過點C作CN⊥直線x=2于點N．
則△CNP≌△BEP，
∴PN=EB=1，CN=PE=3，
∴NE=NP+PE=1+3=4，
∴C（5，4）；
②如圖3、∠PBC=90°，BP=BC，
過點C作CF⊥x軸于點F．
同理可得△CBF≌△PBE．
∴BF=PE=3，CF=BE=1，
∴OF=OB+BF=3+3=6，
∴C（6，1），
綜上所述，以PB為直角邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點C的坐標是（5，4）或（6，1）；
（4）如圖2，在Rt△BPE中，∵P（2，n），B（3，0），
∴PE=n，BE=1，
由勾股定理得：PB²=PE²+BE²=n²+1，
∵S_△ABP=S_△BPC，
∴$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（n²+1），
3n-1=n²+1，
n²-3n+2=0，
n=1或2，
∵D（2，$\frac{1}{3}$），且P在點D的上方，
∴P（2，1）或（2，2），
①當n=1時，如圖2，NC=PE=1，PN=BE=1，
∴C（3，2），
如圖3，BF=CF=1，
∴C（4，1），
②當n=2時，如圖2，同理得C（4，3），
如圖3，得C（5，1），
綜上所述，點C的坐標是（3，2）或（4，1）或（4，3）或（5，1）．

點評 本題是三角形的綜合題，主要考查的是三角形的全等的性質和判定、等腰直角三角形的性質和判定，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數的解析式、割補法求面積、三角形的面積公式等知識，解（2）的關鍵是得出△BDP的邊PD上的高長為1，解（3）的關鍵是判斷出△CNP≌△BEP．