Question

10．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°，
（1）操作發現：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，
①△ADC是等邊三角形；
②設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，那么S₁與S₂的數量關系是S₁=S₂．
（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S₁與S₂的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．
（3）拓展探究，如圖4，已知∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S_△DCF=S_△BDE，請直接寫出相應的BF的長．

Answer 1

分析 （1）①根據AC=CD，∠BAC=60°，即可判定△ACD是等邊三角形；
②根據DE∥AC，可得S_△ACE=S_△ACD，根據點D是AB的中點，可得S_△BDC=S_△ACD，進而得到△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S₁=S₂；
（2）先判定△ACN≌△DCM（AAS），得出AN=DM，再根據等底等高的三角形的面積相等可得，△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S₁=S₂；
（3）先作EG⊥BD于G，延長CD交AB于H，根據等底等高的三角形的面積相等，可得EG=HF=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，最后根據線段的和差關系，即可求得BF的長．

解答 解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉，點D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
故答案為：等邊；

②∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC，
∴根據同底等高的三角形面積相等，可得S_△ACE=S_△ACD，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴點D是AB的中點，
∴S_△BDC=S_△ACD，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S₁=S₂，
故答案為：S₁=S₂；

（2）如圖3，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；

（3）BF的長為$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．
理由：如圖4，作EG⊥BD于G，延長CD交AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，
∴ED=EB，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴Rt△BEG中，GE=$\frac{BG}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∵DB=DC=4，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CHB=90°，即CH⊥AB，
∵S_△DCF=S_△BDE，DB=DC，
∴△CDF中CD邊上的高等于$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
當點F在HB上時，HF=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
又∵Rt△BDH中，DH=$\frac{1}{2}$BD=2，∠DBH=30°，
∴BH=$\sqrt{3}$DH=2$\sqrt{3}$，
∴BF=BH-FH=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
當點F'在BH延長線上時，同理可得HF'=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴BF'=BH+F'H=2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．
綜上所述，BF的長為$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的面積計算公式以及含30°角的直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是根據等底（或同底）等高的三角形的面積相等進行計算求解．