Question

14．如圖，在平面直角坐標系內A（8，0），B（0，6），若直線L與AB平行，且在直線L上有且只有一點P使∠OPA=90°，求滿足條件的直線L的解析式．

Answer 1

分析 先求得直線AB的解析式以及AB的長，再根據直線L與AB平行，且在直線L上有且只有一點P使∠OPA=90°，分兩種情況進行討論：直線L經過第一、二、四象限，直線L經過第而、三、四象限，分別根據相似三角形的性質，求得直線L與x軸的交點坐標，進而得出直線L的解析式．

解答 解：如圖所示，以AO為直徑作圓C，當直線L與與⊙C相切時，切點即為點P，連接CP，則CP⊥直線L，
此時∠OPA=90°，CO=CA=CP=4，
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（8，0），B（0，6）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，
由AO=8，BO=6，可得AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
分兩種情況：
①若直線L經過第一、二、四象限，設直線L：y=-$\frac{3}{4}$x+m與x軸交于點D，則△AOB∽△DP₁C，
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{{P}_{1}C}{DC}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{4}{CD}$，
解得CD=$\frac{20}{3}$，
∴OD=4+$\frac{20}{3}$=$\frac{32}{3}$，即D（$\frac{32}{3}$，0），
∴0=-$\frac{3}{4}$×$\frac{32}{3}$+m，
∴m=8，
∴直線L的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+8；
②若直線L經過第二、三、四象限，設直線L：y=-$\frac{3}{4}$x+n與x軸交于點E，則△AOB∽△EP₂C，
同理可得，CE=$\frac{20}{3}$，
∴OE=$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，即E（-$\frac{8}{3}$，0），
∴0=-$\frac{3}{4}$×（-$\frac{8}{3}$）+n，
∴n=-2，
∴直線L的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x-2．
綜上所述，直線L的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+8或y=-$\frac{3}{4}$x-2．

點評 本題主要考查了兩條直線平行的問題、相似三角形的判定與性質、待定系數法求直線解析式以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例列式計算．解題時注意分類思想的運用．解題時注意：若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．