Question

9．“回文”是指正反都能讀的句子，它是古今中外都有的一種修辭方式和文字游戲如“我為人人，人人為我”等，在數學上也有這樣一類數字有這樣特征，成為回文數，例如11、363、4774等一個個回文數，如果它還是某個數的平方，這樣的數字叫平方回文數．例如121，根據內容試著解決下列問題：
（1）100以上至1000以內的平方回文數只有3個，另外兩個是484和676．
（2）我們發現四位的回文數有個特點，就是它決不會是一個質數，那11會不會是它一個因數？請說明理由．
（3）有一個24小時制的數字鐘顯的范圍是00：00到23：59．請問在這一天之中有多少次鐘面顯示的數字是回文數？（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）依次計算11的平方、12的平方、…，找到100至1000以內的平方回文數；
（2）設未知數，表示這個回文數，并提取公因數即可；
（3）在這一天之中有16次鐘面顯示的數字是回文數，按規律依次寫出：第一個數從0、1、2寫起，注意后兩個數要小于60．

解答 解；（1）∵22²=484，26²=676，
∴另外兩個平方回文數為：484，676；
故答案為：484和676；
（2）設這個四位回文數的個位和千位都是a，十位和百位都是b，
則這個四位回文數表示為：1000a+100b+10b+a，
=1001a+110b，
=11×（91a+10b），
∴四位的回文數不是質數，且11是它的一個因數；
（3）在這一天之中有16次鐘面顯示的數字是回文數：
00：00
01：10
02：20
03：30
04：40
05：50
10：01
11：11
12：21
13：31
14：41
15：51
20：02
21：12
22：22
23：32．

點評 本題考查了因式分解的應用和回文數的定義和特點，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用，做到不重不漏．