Question

19．已知關于x的一元二次方程x²+3x+k-1=0有實根，k為正整數．
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，設二次函數y=x²+3x+k-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
①求△ABC的面積；
②連接AC，過B作BH⊥AC于H，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）根據判別式的意義得到△=3²-4（k-1）≥0，然后解不等式求出滿足條件的正整數即可；
（2）把（1）k的中分別代入方程可判斷k=3滿足條件，當k=3時，方程變形為x²+3x+2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，從而得到A點和B點坐標為（-1，0），（-2，0），再求出C（0，2），
①根據三角形面積公式計算△ABC的面積；
②討論：當A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），利用等腰直角三角形的性質求BH；
當A（-1，0），B（-2，0），C（0，2），則利用面積法求BH．

解答 解：（1）根據題意得△=3²-4（k-1）≥0，解得k≤$\frac{13}{4}$，
而k為正整數．
所以k的值為1、2、3、4；
（2）當k=1時，方程變形為x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=-3，
當k=2時，方程變形為x²+3x+1=0，解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，
當k=4時，方程變形為x²+3x+3=0，方程沒有實數解，
當k=3時，方程變形為x²+3x+2=0，解得x₁=-1，x₂=-2，
此時二次函數為y=x²+3x+2，A點和B點坐標為（-1，0），（-2，0），
當x=0時，y=x²+3x+2=2，則C（0，2），
①△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
②當A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），
∵OC=OA，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當A（-1，0），B（-2，0），C（0，2），則AC=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$BH•AC=$\frac{1}{2}$•AB•OC，
∴BH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即BH為$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了三角形面積公式．