Question

4．已知x，y是互不相同的質數，若$\frac{621xy}{x+y}$是整數，則有序數對（x，y）的個數是（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 先將621分解因數，由于，$\frac{621xy}{x+y}$是整數，得出（x+y）只是621xy的約數，即可得出9個二元不定方程，針對于前8個，x+y是奇數，要使兩個數的和是奇數，這兩個加數中必有一個為偶數，而x，y是質數，偶數中只有2是質數，即，x，y中必有一個是2，求出另一個加數，再判斷它是否是不同的質數，即可得出結論，針對于最后一個，用y表示出x，用x，y都是整數即可求出x，y的值，再判斷是否是不同的質數，即可．

解答 解：621=3×207=9×69=23×27=1×621，
∵$\frac{621xy}{x+y}$是整數，且x，y是互不相同的質數，
∴（x+y）只是621xy的約數，
∴①x+y=3，當x=2時，y=3-x=1，而1不是質數，此種情況不符合題意，
同理：y=2時，也不符合題意，即：此種情況中不存在有序數對（x，y）；
②x+y=207，當x=2時，y=207-x=205，而205不是質數，此種情況不符合題意，
同理：y=2時，也不符合題意，即：此種情況中不存在有序數對（x，y）；
③x+y=9，∵當x=2時，y=9-x=7，而7是不等于2的質數，
∴有序數對為（2，7），
同理：當y=2時，有序數對為（7，2），共兩種；
④x+y=69，∵當x=2時，y=69-x=67，而67是不等于2的質數，
∴有序數對為（2，67），
同理：當y=2時，有序數對為（67，2），共兩種；
⑤x+y=23，當x=2時，y=23-x=21，而21不是質數，此種情況不符合題意，
同理：y=2時，也不符合題意，即：此種情況中不存在有序數對（x，y）；
⑥x+y=27，當x=2時，y=27-x=5，而25不是質數，此種情況不符合題意，
同理：y=2時，也不符合題意，即：此種情況中不存在有序數對（x，y）；
⑦x+y=1，∵x，y是互不相同的質數，此種情況不存在兩個質數的和為1；
⑧x+y=621，∵當x=2時，y=621-x=619，而619是不等于2的質數，
∴有序數對為（2，619），
同理：當y=2時，有序數對為（619，2），共兩種；
⑨x+y=xy，∴x=$\frac{y}{y-1}$，
∵x，y是整數數，
∴y-1=1，
∴y=2，
∴x=2，
∵x，y是互不相同的質數，所以舍去．
即：滿足條件的有序數對（x，y）有（2，7），（7，2），（2，67），（67，2），（2，691），（619，2），共6種，
故選B．

點評 此題是質數與合數，主要考查了數的分解因數，一元一次方程的解法，確定出$\frac{621xy}{x+y}$是整數的x，y滿足的條件是解本題的關鍵，而判斷出兩個質數的和是奇數時，必有一個加數是質數2，是解本題的難點，此題用到分類討論的思想，是一道很好的競賽題．