Question

9．如圖，在等邊△ABC中，AB=4，D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，作點(diǎn)E關(guān)于直線AD對稱的點(diǎn)E'，作點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)E″，作△EE'E″，當(dāng)△EE'E″是軸對稱圖形時(shí)，S_△EE'E″=48-24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 記AD與EE′交點(diǎn)為F，設(shè)BD=x，則CD=4-x，根據(jù)DE⊥AC且∠C=60°得DE=CDsinC=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$、CE=CDcosC=$\frac{4-x}{2}$、AE=AC-CE=4-$\frac{4-x}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，由點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于AD對稱、點(diǎn)E與點(diǎn)E″關(guān)于點(diǎn)D對稱得EF=E′F、ED=E″D、∠DFE=90°，繼而知DF∥E′E″、$\frac{DF}{E′E″}$=$\frac{1}{2}$，證△DFE∽△E″E′E得∠E′=∠DFE=90°，即△EE′E″為直角三角形，若△EE'E″是軸對稱圖形則△EE′E″為等腰直角三角形，從而根據(jù)AE=DE求得x的值，即可得DE、EF的長，從而求出S_△DEF的值，最后根據(jù)$\frac{{S}_{△DFE}}{{S}_{△E″E′E}}$=$\frac{1}{4}$可得答案．

解答 解：記AD與EE′交點(diǎn)為F，

設(shè)BD=x，則CD=4-x，
∵DE⊥AC，且∠C=60°，
∴DE=CDsinC=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$，CE=CDcosC=$\frac{4-x}{2}$，
則AE=AC-CE=4-$\frac{4-x}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于AD對稱，點(diǎn)E與點(diǎn)E″關(guān)于點(diǎn)D對稱，
∴EF=E′F，ED=E″D，且∠DFE=90°，
∴DF∥E′E″，且$\frac{DF}{E′E″}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DFE∽△E″E′E，
∴∠E′=∠DFE=90°，即△EE′E″為直角三角形，
若△EE'E″是軸對稱圖形，
則△EE′E″為等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠FDE=∠DAE=45°，
∴DE=AE，即$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$=$\frac{4+x}{2}$，
解得：x=8-4$\sqrt{3}$，
∵DE=$\frac{\sqrt{3}（4-x）}{2}$=6-2$\sqrt{3}$，
∴EF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
則S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•EF=$\frac{1}{2}$EF²=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）²=12-6$\sqrt{3}$，
∵△DFE∽△E″E′E，且$\frac{DF}{E′E″}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△DFE}}{{S}_{△E″E′E}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EE'E″=4S_△DEF=4×（12-6$\sqrt{3}$）=48-24$\sqrt{3}$，
故答案為：48-24$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對稱的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)對稱的性質(zhì)及中位線定理判斷出△EE′E″為直角三角形及根據(jù)△EE'E″是軸對稱圖形得出△EE′E″為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．