Question

9．已知：正方形ABCD內一點E，連接EA、EB、EC．
（1）若EA²+EC²=2EB²，請說明點E必在對角線AC上．
（2）若EA+EB+EC的最小值為$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，將△ABE繞點B順時針旋轉90°得△CBE′，連接EE′．只要證明CE′²+EC²=EE′²，推出∠ECE′=90°，推出∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，即A、E、C共線，推出點E在正方形ABCD的對角線上．
（2）如圖2中，將△ABE繞點B逆時針旋轉60°得△A′BE′，連結A′C，作A′H⊥BC于H．首先證明△EBE′為等邊三角形，推出EE′=BE，A′E′=AE，BA′=BA，∠ABA′=60°，因為A′E′+E′E+EC≥A′C，所以AE+BE+CE≥AC（當且僅當點E′、點E在AC上時，取等號），AE+BE+CE有最小值，最小值為A′C的長，設正方形的邊長為a，在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，A′H=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$a，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△A′CH中，根據A′C²=A′H²+CH²，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，將△ABE繞點B順時針旋轉90°得△CBE′，連接EE′．

∵BE=BE′，∠EBE′=90°，AE=CE′，
∴EE′=$\sqrt{2}$BE，
∵EA²+EC²=2EB²，
∴CE′²+EC²=EE′²，
∴∠ECE′=90°，
∴∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，
∴A、E、C共線，
∴點E在正方形ABCD的對角線上．

（2）解：如圖2中，將△ABE繞點B逆時針旋轉60°得△A′BE′，連結A′C，作A′H⊥BC于H．

∵△ABE繞點B逆時針旋轉60°得△A′BE′，
∴BE=BE′，∠EBE′=60°，
∴△EBE′為等邊三角形，
∴EE′=BE，
∴A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，
∵A′E′+E′E+EC≥A′C，
∴AE+BE+CE≥AC（當且僅當點E′、點E在AC上時，取等號），
∴AE+BE+CE有最小值，最小值為A′C的長，設正方形的邊長為a，
在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，
∴A′H=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$a，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴CH=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△A′CH中，A′C²=A′H²+CH²，
∴（$\frac{1}{2}$a）²+（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
解得a=2．
∴正方形的邊長為2．

點評 本題正方形的性質、最短問題、旋轉變換、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉變換添加輔助線，構造全等三角形，學會利用兩點之間線段最短解決最短問題，所以中考常考題型．