Question

20．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，設△ABC的面積為S，周長為l．且a+b-c=m，①填表：②觀察下表猜想：m×l=4S．（用含s的代數式表示）③證明②中的結論．

三邊a、b、c	m	l×m	S
3、4、5	2	24	6
5、12、13	4	120	30
8、15、17	6	240	60

Answer 1

分析 ①根據周長的定義，直角三角形的面積公式求解即可；
②根據求得的a+b-c與l的值，總結其規律，寫出即可；
③用m、c的式子表示出a、b，分別表示出其周長及面積，用面積除以周長即可完成證明．

解答 解：①l=3+4+5=12，
l×m=12×2=24，
S=3×4÷2=6；
l=5+12+15=30，
l×m=30×4=120，
S=5×12÷2=30；
l=8+15+17=40，
l×m=40×6=240，
S=8×15÷2=60；
填表如下：

三邊a、b、c	m	l×m	S
3、4、5	2	24	6
5、12、13	4	120	30
8、15、17	6	240	60

②m×l=4S；
③證明：∵a+b-c=m，
∴a+b=m+c，
∴a²+2ab+b²=m²+2mc+c²，
又∵a²+b²=c²，
∴2ab=m²+2mc，
∴S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$m（m+2c），
∴4S=m（a+b-c+2c）=m（a+b+c）=m×l．
故答案為：4S；24，6；120，30；240，60．

點評 本題考查了勾股定理的相關知識，在完成證明時候關鍵是用到了完全平方公式，是一道中檔考題．