Question

8．如圖，Rt△ABC內接于⊙O，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，CE平分∠OCD．
（1）求證：EA=EB；
（2）若CE=4，求四邊形ACBE的面積．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，易證得∠OCE=∠E=∠ECD，即可判定OE∥CD，又由垂徑定理，即可證得$\widehat{EA}$=$\widehat{EB}$；
（2）首先過點A作AN⊥CE于點N，作BM⊥CE于點M，易證得△AEN≌△EBM，△BCM是等腰直角三角形，繼而可得AN+BM=CE，繼而求得答案．

解答 解：（1）連接OE，
∵OE=OC，
∴∠OCE=∠E，
∵CE平分∠OCD交⊙O于E，
∴∠DCE=∠OCE，
∴∠DCE=∠E，
∴OE∥CD，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
∴$\widehat{EA}$=$\widehat{EB}$，
∴EA=EB；

（2）過點A作AN⊥CE于點N，作BM⊥CE于點M，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴∠AEN+∠BEM=∠BEM+∠EBM=90°，
∴∠AEN=∠EMB，
∵CE平分∠OCD，
∴EA=EB，∠BCM=45°，
∴AE=BE，△BCM是等腰直角三角形，
在△AEN和△EBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEN=∠EBM}\\{∠ANB=∠EMB}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△EBM（AAS），
∴AN=EM，
∴AN+BM=EM+CM=CE=4，
∴S_{四邊形ACBE}=S_△ACE+S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE•AN+$\frac{1}{2}$CE•BM=$\frac{1}{2}$CE•（AN+BM）=$\frac{1}{2}$CE•CE=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

點評 此題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．