Question

11．如圖所示是一個紙杯，它的母線延長后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側面展開圖是扇形OAB，經測量，紙杯開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=9cm，求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

分析 （1）設∠AOB=n°，AO=R，則CO=R-9，利用圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系列方程，并聯立成方程組求解即可；
（2）求紙杯的側面積即為扇環的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S_{紙杯側面積}+S_{紙杯底面積}．

解答 解：由題意可知：$\widehat{BA}$=6πcm，$\widehat{CD}$=4π，設∠AOB=n，AO=R，則CO=R-9，
由弧長公式得：l=$\frac{nπR}{180}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6×180=nR}\\{4×180=nR-9n}\end{array}\right.$，
解得：n=40，R=27，
故扇形OAB的圓心角是40度．
∵R=27，R-9=18，
∴S_扇形OCD=$\frac{1}{2}$×4π×18=36π（cm²），
S_扇形OAB=$\frac{1}{2}$×6π×27=81π（cm²），
紙杯側面積=S_扇形OAB-S_扇形OCD=81π-36π=45π（cm²），
紙杯底面積=π•2²=4π（cm²）
紙杯表面積=45π+4π=49π（cm²）．

點評 此題主要考查圓錐的側面展開圖與底面周長之間的關系和扇環的面積的求法．本題中（1）就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解；（2）扇環的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積．