Question

15．已知△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h
（1）如圖（1）D是線段BC（不包括B、C點）上任一點，過D做DE⊥AB，DF⊥AC，并設DE=x，DF=y，請寫出x、y、h的數量關系，并證明．
（2）如圖（2）D是△ABC內任一點，過D做DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，并設DE=x，DF=y，DM=z，請寫出x、y、z、h的數量關系，并證明．
（3）如圖（3）D是△ABC外一點，過D做DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，并設DE=x，DF=y，DM=z，請直接寫出x、y、z、h的數量關系，不要求證明．

Answer 1

分析 （1）先連接AD，則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，再根據△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=x，DF=y，列出等式$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay，進而得出h=x+y；
（2）先連接AD，BD，CD，則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD，再根據△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h，DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，列出等式$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az，進而得到h=x+y+z；
（3）先連接AD，BD，CD，則S_△ABC=S_{四邊形ABDC}-S_△BCD=S_△ABD+S_△ACD-S_△BCD，再根據△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h，DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，列出等式$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay-$\frac{1}{2}$az，即可得到h=x+y-z．

解答 解：（1）x、y、h的數量關系：h=x+y．
證明：如圖1，連接AD，則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∵△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=x，DF=y，
∴S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay，
∴$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay，
∴h=x+y；

（2）x、y、z、h的數量關系：h=x+y+z．
證明：如圖2，連接AD，BD，CD，則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD，
∵△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，
∴S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az，
∴$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az，
∴h=x+y+z；

（3）x、y、z、h的數量關系：h=x+y-z．
理由：如圖3，連接AD，BD，CD，則S_△ABC=S_{四邊形ABDC}-S_△BCD=S_△ABD+S_△ACD-S_△BCD，
∵△ABC是等邊三角形，邊長為a，高為h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，
∴S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay-$\frac{1}{2}$az，
∴$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay-$\frac{1}{2}$az，
∴h=x+y-z．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了面積法的運用，三角形面積計算公式以及等邊三角形的性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造三角形，根據三角形之間的面積關系列出等式進行化簡變形．