Question

10．已知，在如圖所示的網格中建立平面直角坐標系后，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（2，4）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A₁B₁C₁；
（2）借助圖中的網格，請只用直尺（不含刻度）完成以下要求：（友情提醒：請別忘了標注宇母）
①在圖中找一點P，使得P到AB、AC的距離相等，且PA=PB；
②在x軸上找一點Q，使得△QAB的周長最小，并求此時點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始，連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形；
（2）①作∠BAC的角平分線，作AB的垂直平分線，交于點P，則點P即為所求；②作點B關于x軸對稱的點B'，連接AB'，交x軸于Q，則點Q即為所求．根據直線AB'的解析式即可得出點Q的坐標．

解答 解：（1）如圖所示，△A₁B₁C₁即為所求；

（2）①如圖所示，作∠BAC的角平分線，作AB的垂直平分線，交于點P，則點P即為所求；
②如圖所示，作點B關于x軸對稱的點B'，連接AB'，交x軸于Q，則點Q即為所求，
∵A（1，1），B'（4，-2），
∴可設直線AB'為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{-2=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x+2，
當y=0時，-x+2=0，
解得x=2，
此時點Q的坐標為（2，0）．

點評 本題主要考查了利用軸對稱進行作圖，解決問題的關鍵是掌握角平分線的性質，中垂線的性質以及待定系數法求一次函數解析式，解題時注意：兩點之間，線段最短．