Question

18．如圖，拋物線y=ax²-4與x軸相交于A（-3，0）、B，與y軸相交于點C．以點C為圓心，CA長為半徑畫⊙C，⊙C與y軸的正半軸相交于點D．
（1）a=$\frac{4}{9}$，點D坐標為（0，1）；
（2）過點B作直線y=$\frac{1}{3}$x+b與拋物線相交于點E（-$\frac{9}{4}$，m），連接BD，OE．
①若點P在x軸上，且以點P、B、D為頂點的三角形與△BOE相似，求點P的坐標；
②若點Q在$\widehat{AB}$與x軸下方的拋物線所組成的圖形上，求△BQE面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可求出a的值，求出CD、OC的長即可求出點D坐標．
（2）①分兩種情形討論即可：當$\frac{PB}{BE}$=$\frac{BD}{OB}$時，△PBD∽△EBO；當$\frac{P′B}{OB}$=$\frac{BD}{EB}$時，△P′BD∽△OBE，分別列出方程即可解決問題．
②分兩種情形討論即可：如圖2中，當Q在AB弧上時，CQ⊥EB時，△QEB的面積最大，設CQ與EB的交點為J．當Q′在直線BE的下方時，作Q′K∥CD，交EB于K，設Q′（m，$\frac{4}{9}$m²-4），則K（m，$\frac{1}{3}$m，-1），KQ′=-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+3，構建二次函數利用二次函數的性質，求出最大值，即可判定．

解答 解：（1）把A（-3，0）代入y=ax²-4，得0=9a-4，
∴a=$\frac{4}{9}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{4}{9}$x²-4，
∴C（0，-4），∵A（-3，0），
∴OA=3，OC=4，AC=CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OD=CD-OC=1，
∴D（0，1），
故答案為$\frac{4}{9}$，（0，1）

（2）①如圖1中，連接BD．

∵點E（-$\frac{9}{4}$，m）在拋物線上，
∴m=$\frac{9}{4}$-4=-$\frac{7}{4}$，
∴點E（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{7}{4}$），把點E坐標代入y=$\frac{1}{3}$x+b得b=-1，
∴BE=$\sqrt{（\frac{21}{4}）^{2}+（\frac{7}{4}）^{2}}$=$\frac{7}{4}$$\sqrt{10}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴直線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，它與y軸的交點坐標K（0，-1），
∵D（0，1），
∴OD=OK，
∴∠DNA=∠OBE，
當$\frac{PB}{BE}$=$\frac{BD}{OB}$時，△PBD∽△EBO，
∴$\frac{PB}{\frac{7}{4}\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴PB=$\frac{35}{6}$，
∴OP=$\frac{35}{6}$-3=$\frac{17}{6}$，
∴P（-$\frac{17}{6}$，0）．
當$\frac{P′B}{OB}$=$\frac{BD}{EB}$時，△P′BD∽△OBE，
∴$\frac{P′B}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{\frac{7}{4}\sqrt{10}}$，
∴P′B=$\frac{12}{7}$，
∴OP′=3-$\frac{12}{7}$=$\frac{9}{7}$，
∴P′（$\frac{9}{7}$，0），
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（-$\frac{17}{6}$，0）或（$\frac{9}{7}$，0）．

②如圖2中，當Q在AB弧上時，CQ⊥EB時，△QEB的面積最大，設CQ與EB的交點為J．

∵直線BE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，CQ⊥BE，
∴直線CQ的解析式為y=-3x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-4}\\{y=\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{10}}\\{y=-\frac{13}{10}}\end{array}\right.$，
∴點J坐標（-$\frac{9}{10}$，-$\frac{13}{9}$），
∴CJ=$\sqrt{（\frac{9}{10}）^{2}+（-4+\frac{13}{10}）^{2}}$=$\frac{9}{10}$$\sqrt{10}$，
∴JQ=5-$\frac{9}{10}$$\sqrt{10}$，
∴△QEB的面積最大值=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{4}$$\sqrt{10}$（5-$\frac{9}{10}$$\sqrt{10}$）=$\frac{35\sqrt{10}}{8}$-$\frac{63}{8}$．
當Q′在直線BE的下方時，作Q′K∥CD，交EB于K，設Q′（m，$\frac{4}{9}$m²-4），則K（m，$\frac{1}{3}$m，-1），KQ′=-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+3，
∴S_△EBQ′=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+3）•（3+$\frac{9}{4}$）=-$\frac{7}{6}$（m-$\frac{3}{8}$）²+$\frac{1029}{128}$，
∴m=$\frac{3}{8}$時，△EBQ′的面積的最大值為$\frac{1029}{128}$，
∵$\frac{1029}{128}$＞$\frac{35\sqrt{10}}{8}$-$\frac{63}{8}$，
∴△BEQ的面積的最大值為$\frac{1029}{128}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、圓的有關知識、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題，屬于中考壓軸題．