Question

17．已知直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸和y軸分別交與A、B兩點，另一直線過點A和點C（7，3）．
（1）求直線AC對應的函數關系式；
（2）求證：AB⊥AC；
（3）若點P是直線AC上的一個動點，點Q是x軸上的一個動點，且以P、Q、A為頂點的三角形與△AOB全等，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=0，則0=-$\frac{4}{3}$x+4，求得A（3，0），設直線AC對應的函數關系式為y=kx+b，解方程組即可得到結論；
（2）在直線ABy=-$\frac{4}{3}$x+4中，得到k₁=-$\frac{4}{3}$，在直線AC$y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$中，得到k₂=$\frac{3}{4}$，由于k₁•k₂=-1，即可得到結論；
（3）根據勾股定理得到AB=5，①當∠AQP=90°時，如圖1，由全等三角形的性質得到AQ=OB=4，于是得到Q₁（7，0），Q₂（-1，0），②當∠APQ=90°時，如圖2，根據全等三角形的性質得到AQ=AB=5，于是得到Q₃（8，0），Q₄（-2，0），③當∠PAQ=90°時，這種情況不存在．

解答 解：（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，
令y=0，則0=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=3，
∴A（3，0），
設直線AC對應的函數關系式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=7k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AC對應的函數關系式為$y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，

（2）在直線ABy=-$\frac{4}{3}$x+4中，∵k₁=-$\frac{4}{3}$，
在直線AC$y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$中，k₂=$\frac{3}{4}$，
∴k₁•k₂=-1，
∴AB⊥AC；

（3）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，
令x=0，則y=4，
∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，
①當∠AQP=90°時，如圖1，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=OB=4，
∴Q₁（7，0），Q₂（-1，0），
②當∠APQ=90°時，如圖2，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=AB=5，
∴Q₃（8，0），Q₄（-2，0）．
③當∠PAQ=90°時，這種情況不存在，
綜上所述：點Q的坐標為：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．

點評 本題考查了一次函數綜合題，待定系數法求函數的解析式，勾股定理的應用和全等三角形的性質等知識，分類討論是解題關鍵，以防遺漏．