Question

9．如圖，Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，以斜邊AB為直徑作⊙O，動點P在直徑下方的半圓AB上運動（不與A、B重合），過點C作CQ⊥CP，與PB的延長線交于點Q．
（1）當CP⊥AB時，求CQ的長；
（2）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，求得AC=6，BC=8，再根據CP⊥AB，得到CP=2CM，據此求得CP的長，再根據△CAB∽△CPQ，得到$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CP}{CA}$，進而得出CQ=$\frac{CB•CP}{CA}$=$\frac{64}{5}$；
（2）由（1）可知，CQ=$\frac{CB•CP}{CA}$=$\frac{4}{3}$CP，根據當CP取最大值是CQ有最大值，得到當CP為直徑時，即點P運動到CP經過圓心O時，CQ取到最大值為$\frac{40}{3}$．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10，AC：BC=3：4，
∴AC=6，BC=8，
設CP交AB于M，
∵CP⊥AB，
∴CP=2CM=2×$\frac{24}{5}$=$\frac{48}{5}$，
∵∠A=∠P，∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△CAB∽△CPQ，
∴$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CP}{CA}$，
∴CQ=$\frac{CB•CP}{CA}$=$\frac{64}{5}$；

（2）由（1）可知，CQ=$\frac{CB•CP}{CA}$=$\frac{4}{3}$CP，
∴當CP取最大值是CQ有最大值，
∴當CP為直徑時，即點P運動到CP經過圓心O時，CQ取到最大值為$\frac{4}{3}$×10=$\frac{40}{3}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理的運用，解決問題的關鍵是根據相似三角形的對應邊成比例，列出比例式進行計算求解．