Question

3．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)
（1）求證：AF⊥EF；
（2）若AF=3.5，AB=5，求CF的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用角平分線定義得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，所以O(shè)D∥AF，再利用切線的性質(zhì)得OD⊥EF，于是利用平行線的性質(zhì)可得到AF⊥EF；
（2）連接OC，OD交BC于H，如圖，設(shè)CF=x，先判斷四邊形CFDH為矩形得到HD=CF=x，再證明OH為△ACB的中位線得到OH=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x），則利用OH=OD-DH=$\frac{5}{2}$-x得到$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x）=$\frac{5}{2}$-x，然后解方程求出x即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AF，
∵EF為切線，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：連接OC，OD交BC于H，如圖，設(shè)CF=x，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
而AF⊥EF，OD⊥EF，
∴四邊形CFDH為矩形，
∴HD=CF=x，
∵OH∥AC，OA=OB，
∴OH為△ACB的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AF-CF）=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x）
而OH=OD-DH=$\frac{5}{2}$-x，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-x）=$\frac{5}{2}$-x，解得x=$\frac{3}{2}$，
即CF的長為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．