Question

8．如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為AB邊上一點，連接CD，∠ADC=120°，把△ADC繞點A逆時針旋轉30°得△AD′C′，如圖（2），連接CC′并延長，交AB于點E．
（1）發現：在圖（1）中，∠DCB的度數為75°；在圖（2）中，∠DEC′的度數為60°．
（2）論證：在圖（2）中，線段D′C′與線段CE有怎樣的位置關系和數量關系？并說明理由．
（3）應用：若△ADC繞點A逆時針旋轉的度數為m（0°≤m≤360°），以A、B、C、C′四點組成的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）依據等腰直角三角形的性質可求得∠B=∠A=45°，然后依據三角形的外角的性質得到∠ADC=∠B+∠DCB，從而可求得∠DCB的值；根據題意可證明△ACC′為等腰三角形，從而可求得∠ACC′的度數，然后可得到∠ECB的度數，最后由三角形的外角的性質可知∠DEC′=∠B+∠ECB；
（2）證明△AC′D′≌△BCE，然后依據全等三角形對應邊相等的性質求解即可；
（3）首先依據題意畫出圖形，然后依據旋轉的性質和等腰直角三角形的性質可知AC′=BC，故此只需要AC′∥BC即可，從而可得到m的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°．
∵∠ADC=∠DCB+∠B=120°，
∴45°+∠DCB=120°，解得∠DCB=75°．
由旋轉的定義可知∠CAC′=30°，AC=AC′．
∴∠ACC′=75°．
∴∠ECB=90°-75°=15°．
∴∠DEC′=∠B+∠ECB=45°+15°=60°．
故答案為：75°；60°．
（2）D′C′=CE．
理由：由旋轉的性質可知∠ADC=∠AD′C′=120°，∠CAB=∠C′AD′=45°，AC=AC′．
∵∠DEC=60°，AC=BC，
∴∠CEB=120°，AC′=BC．
∴∠AD′C=∠CEB，∠C′AD′=∠B．
在△AC′D′和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠AD′C=∠CEB}\\{∠C′AD′=∠B}\\{AC′=BC}\end{array}\right.$，
∴△AC′D′≌△BCE（SAS）．
∴D′C′=CE．
（3）當m=90°時，如圖1所示：

∵∠ACB=90°，∠BAC′=90°，
∴∠ACB+∠BAC′=180°．
∴AC′∥BC．
∵AC′=AC，AC=BC，
∴AC′=BC．
∴四邊形ACBC′為平行四邊形．
如圖2所示：當m=270°時．

當m=270°時，∠C′AC=90°．
∴∠C′AC=∠ACB．
∴AC′=BC．
∵AC′=CB．
∴四邊形AC′CB為平行四邊形．
綜上所述，當m=90°或m=270°時，以A、B、C、C′四點組成的四邊形為平行四邊形．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了旋轉的性質、平行四邊形的判定定理、全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的性質，證得△AC′D′≌△BCE是解題的關鍵．