Question

15．如圖，△ABC的三條角平分線AD、BE、CF交于點O．
（1）試判斷∠AOE和∠1之間的關(guān)系，并寫出推理過程．
（2）過點O作BC的垂線段，交BC于點H，求證：∠BOD=∠COH．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義，得出∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根據(jù)∠AOE是△AOB的外角，得出∠AOE=∠2+∠3，據(jù)此進行計算，即可得出AOE+∠1=90°；
（2）利用三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，用∠ACB表示出∠AOE，則∠BOD即可得到，然后在直角△OCH中，利用直角三角形的兩個內(nèi)角互余以及角平分線的定義，即可利用∠ACB表示出∠COH，從而證得結(jié)論．

解答 解：（1）∠AOE和∠1之間的關(guān)系：∠AOE+∠1=90°．
理由：∵AD、BE、CF都是△ABC的角平分線，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠AOE是△AOB的外角，
∴∠AOE=∠2+∠3
=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
=90°-∠1，
∴∠AOE+∠1=90°；

（2）證明：過點O作BC的垂線段，交BC于點H，
∵∠AEO=∠EBC+∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠ACB，
∴∠AOE=180°-（∠DAC+∠AEO）
=180°-[$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC+∠ACB]
=180°-[$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+$\frac{1}{2}$∠ACB]
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠AOE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵在Rt△OCH中，∠COH=90°-∠OCD=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠COH．

點評 本題主要考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解題時注意運用：三角形內(nèi)角和是180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．