Question

3．研究發現：當四邊形的對角線互相垂直時，該四邊形的面積等于對角線乘積的一半，如圖1，己知四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC=BD，且AC⊥BD
（1）求證：AB=CD；
（2）若⊙O的半徑為8，弧BD的度數為120°，求四邊形ABCD的面積；
（3）如圖2，作OM⊥BC于M，請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據弦、弧、圓心角的關系證明；
（2）根據弧BD的度數為120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知識求出BD，根據題意計算即可；
（3）連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，證明結論．

解答 （1）證明：∵AC=BD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
則$\widehat{AB}$=$\widehat{DC}$，
∴AB=CD；

（2）解：連接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度數為120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
則BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=4$\sqrt{3}$，
∴BD=8$\sqrt{3}$，
則四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×AC×BD=96；

（3）AD=2OM，
連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖2，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMB=∠OEA}\\{∠OBM=∠OAE}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴AD=2OM．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質和矩形的性質、會利用三角形全等解決線段相等的問題是解題的關鍵．