Question

11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交⊙O于F，交BE于H，連DE，試探究DE與直徑CG有無(wú)特殊的位置關(guān)系？

Answer 1

分析 結(jié)論：DE⊥CG．由△CAD∽△CBE，推出$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，推出$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CE}$，由∠ECD=∠BCA，推出△ECD∽△BCA，推出∠CED=∠ABC=∠G，由CG是直徑，推出∠GAC=90°，推出∠G+∠ACG=90°，推出∠ACG+∠DEC=90°，即可證明∠EKC=90°．

解答 解：結(jié)論：DE⊥CG．
理由：如圖，連接AG，DE交CG于K．

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠CAD=∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，
∴$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CE}$，∵∠ECD=∠BCA，
∴△ECD∽△BCA，
∴∠CED=∠ABC=∠G，
∵CG是直徑，
∴∠GAC=90°，
∴∠G+∠ACG=90°，
∴∠ACG+∠DEC=90°，
∴∠EKC=90°，
∴DE⊥CG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．