Question

3．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE與CD相交于點F，BF=2CE，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．下列結論中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正確的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據已知條件得到△BCD是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質得到BD=CD，由BE平分∠ABC，得到∠ABE=22.5°，根據三角形的內角和得到∠A=67.5°；故①正確；根據余角得到性質得到∠DBF=∠ACD，根據全等三角形的性質得到AD=DF，故②正確；根據BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，得到∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，根據全等三角形的性質得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，求得BE⊥AC，由于△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點，得到DH⊥BC，故④正確；推出DH不平行于AC，于是得到BE≠2BG，故③錯誤．

解答 解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=22.5°，
∴∠A=67.5°；故①正確；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA=90°}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴AD=DF，故②正確；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE⊥AC，
∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點，
∴DH⊥BC，故④正確；
∴DH不平行于AC，
∵BH=CH，∴BG≠EG；
∴BE≠2BG，故③錯誤．
故選C．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，仔細分析圖形并熟練掌握各性質是解題的關鍵．