Question

3．如圖，平行四邊形ABCD中，點E為AD的中點，連CE，點M、N為CE上兩點，且BM∥DN．
（1）求證：BM=2DN；
（2）連DM并延長交AB于F，若BF=2AF，求$\frac{DM}{MF}$的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明BM=2DN，只需求得相似三角形△EDN∽△CBM的相似比即可；
（2）取BF、BM的中點H、Q，連接HQ、AQ，則HQ是三角形的中位線，所以MF=2QH，根據BF=2AF，得出AF=HF，得出PF是△AQH的中位線，得出QH=2PF，MF=2QH=4PF，PM=3PF，同理：求得DM=PM=3PF，即可求得$\frac{DM}{MF}$的值．

解答 （1）證明：∵點E為AD的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEN=∠BCM，ED=$\frac{1}{2}$CB
又∵BM∥DN，
∴∠END=∠CMB，
∴△EDN∽△CBM，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{ED}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴BM=2DN；

﹙2﹚解：如圖2，取BF、BM的中點，H、Q，連接HQ、AQ，
∵BQ=MQ，BH=HF，
∴QH∥DF，
∴MF=2QH，
∵BF=2AF，
∴AF=HF，
∴PF是△AQH的中位線，
∴QH=2PF，
∴MF=2QH=4PF，
∴PM=3PF，
同理：EM是△ADP的中位線，
∴DM=PM=3PF，
∴$\frac{DM}{MF}=\frac{3PF}{4PF}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，三角形的中位線定理，三角形相似的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．