Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8，若弦MN的兩端在圓周上滑動，始終與AB相交．記點A，B到MN的距離為h₁，h₂．則|h₁-h₂|等于（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 設AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，連接OM，利用垂徑定理及勾股定理可求出OD，再推△AFH∽△ODH∽△BEH，然后就可利用OH表示BE、AF，從而可求出答案．

解答 解：設AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，連接OM，
∵AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8，
∴DN=DM=4，OD=3，
∵BE⊥MN，AF⊥MN，OD⊥MN，
∴BE∥OD∥AF，
∴△AFH∽△ODH∽△BEH，
∴AF：OD=AF：3=（5-OH）：OH，
即$\frac{AF}{3}=\frac{5-OH}{OH}$，$\frac{BE}{OD}=\frac{HB}{OH}=\frac{5+OH}{OH}$，
即$\frac{BE}{3}=\frac{5+OH}{OH}$，
∴$\frac{1}{3}$（AF-BE）=-2，
∴|h₁-h₂|=|AF-BE|=6．
故選B．

點評 本題考查了垂徑定理，解答本題需仔細分析圖形，利用垂徑定理和相似三角形的性質即可解決問題．對于一個圓和一條直線來說如果一條直線具備下列，①經過圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對的優弧，⑤平分弦所對的劣弧，五個條件中的任何兩個，那么也就具備其他三個．