Question

13．如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．點(diǎn)P在CD邊上．
（1）如果點(diǎn)P能與點(diǎn)A、B構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有4個(gè)；
（2）如果點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．過(guò)點(diǎn)P的直線l平行于BC，點(diǎn)H為直線l上一點(diǎn)，若點(diǎn)H、M、N構(gòu)成直角三角形，試探究滿(mǎn)足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫(xiě)出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，則∠A=∠B=90°，所以點(diǎn)P一個(gè)與D重合，一個(gè)與C重合；還有兩個(gè)與AB構(gòu)建∠APB=90°，通過(guò)證明△AEP∽△PEB，可以確定P的位置，所以一共有符合條件的P點(diǎn)4個(gè)；
（2）無(wú)論直線l在任一符合條件的位置上，都存在兩個(gè)H點(diǎn)，構(gòu)成∠HNM=∠HMN=90°；以MN為直徑作一輔助圓O，因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為直角，所以首先計(jì)算當(dāng)直線l與圓O相切時(shí)，PD的長(zhǎng)，先計(jì)算FN=1，所以此時(shí)PD=5-1=4，如圖4，因此可以分為以下幾種情況討論：
當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖5，有2個(gè)H點(diǎn)； 當(dāng)t=4時(shí)，如圖6，有3個(gè)H點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5時(shí)，如圖7，有4個(gè)H點(diǎn)； 當(dāng)t=5時(shí)，如圖8，有2個(gè)H點(diǎn)；當(dāng)5＜t＜8時(shí)，如圖9，有4個(gè)H點(diǎn)； 
當(dāng)t=8時(shí)，如圖10，有2個(gè)H點(diǎn)．

解答 解：（1）①如圖1，當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，P與D重合；

②如圖2，當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，P與C重合；

③如圖3，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，過(guò)P作PE⊥AB于E，則PE=BC=4，
設(shè)PD=x，則AE=x，EB=12-x，
∵∠APB=90°，
∴∠APE+∠BPE=90°，
∵∠AEP=∠PEB=90°，
∴∠APE+∠PAB=90°，
∴∠BPE=∠PAB，
∴△AEP∽△PEB，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{PE}{EB}$，
∴4²=x（12-x），
x=6$±2\sqrt{5}$，
即當(dāng)PD=6$+2\sqrt{5}$和6-2$\sqrt{5}$時(shí)滿(mǎn)足∠APB=90°，
此時(shí)存在兩個(gè)符合條件的點(diǎn)P，
綜上所述，如果點(diǎn)P能與點(diǎn)A、B構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有4個(gè)；
故答案為：4；
（2）如圖4，以MN為直徑作圓O，當(dāng)直線l為⊙O的切線時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為H，連接OH，設(shè)⊙O與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接ME，
過(guò)O作OG⊥AB于G，
∵M(jìn)N是⊙O的直徑，
∴∠MEN=90°，
∵l∥BC，
∴l(xiāng)⊥CD，l⊥AB，
∴∠CPF=∠PFE=90°，
∴四邊形PFEM是矩形，
∴PM=EF，
∵DM=8，AN=5，
∴EN=8-5=3，
∵EM=4，
由勾股定理得：MN=5，
∵OG⊥EN，
∴NG=$\frac{1}{2}$EN=$\frac{3}{2}$，
∵l是⊙O的切線，
∴OH⊥l，
同理得：四邊形OGFH是矩形，
∴OH=FG=2.5，
∴FN=FG-NG=2.5-1.5=1；
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖5，有2個(gè)H點(diǎn)； 
②當(dāng)t=4時(shí)，如圖6，有3個(gè)H點(diǎn)；
③當(dāng)4＜t＜5時(shí)，如圖7，有4個(gè)H點(diǎn)； 


④當(dāng)t=5時(shí)，如圖8，有2個(gè)H點(diǎn)；
⑤當(dāng)5＜t＜8時(shí)，如圖9，有4個(gè)H點(diǎn)； 
⑥當(dāng)t=8時(shí)，如圖10，有2個(gè)H點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t=5或t=8時(shí)，有2個(gè)H點(diǎn)；當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)H點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)H點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形和圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、垂徑定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)，有難度，尤其是第2問(wèn)，解決的關(guān)鍵是構(gòu)建輔助圓，計(jì)算直線和圓相切時(shí)，PD的長(zhǎng)，根據(jù)這個(gè)長(zhǎng)度分情況進(jìn)行討論，要不重不漏．