Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中四邊形ABCD為菱形，邊AD在y軸上．其中A（0，1），B（-$\sqrt{3}$，0），雙曲線y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接CO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)E，連接DE，P是雙曲線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足S_△BDP=2S_△CDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將直線BD沿x軸向右平移，交x軸于點(diǎn)K，交射線BA于點(diǎn)H，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使得△KOH為等腰三角形？若存在求出線段OK的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）只要求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，作DF⊥BC于F，連接PB，PD，PF，設(shè)P（a，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$），由S_△BDP=2S_△CDE，得S_△PBF+S_△PDF-S_△BDF=4S_△COD，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）存在．分三種情形討論①如圖2中，當(dāng)OK=KH時(shí)，設(shè)OK=KH=b，作HF⊥OB于F．②如圖3中，當(dāng)OK=OH時(shí)，設(shè)OK=OH=b，③如圖4中，當(dāng)OK=KH時(shí)，設(shè)OK=KH=b，作OF⊥AB于F．分別列出方程解決問(wèn)題即可．

解答 解：（1）∵A（0，1），B（-$\sqrt{3}$，0），
∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD=2，
∴C（-$\sqrt{3}$，-2），D（0，-1），
∵雙曲線y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴m=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．

（2）如圖1中，作DF⊥BC于F，連接PB，PD，PF，設(shè)P（a，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$），

∵S_△BDP=2S_△CDE，
∴S_△PBF+S_△PDF-S_△BDF=4S_△COD，
∴$\frac{1}{2}$×1×（a+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（1+$\frac{2\sqrt{3}}{a}$）-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=4×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
∴P（$\sqrt{3}$，2）或（2$\sqrt{3}$，1）．

（3）存在．
①如圖2中，當(dāng)OK=KH時(shí)，設(shè)OK=KH=b，作HF⊥OB于F．

∵∠HBK=∠HKF=30°，
∴HB=HK，BF=FK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴$\sqrt{3}$b+b=$\sqrt{3}$，
∴b=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴OK=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

②如圖3中，當(dāng)OK=OH時(shí)，設(shè)OK=OH=b，

∵∠OHK=∠OKH=∠ABK=30°，
∴∠HOB=60°，
∴∠OHB=90°，
∴OB=2OH
∴2b=$\sqrt{3}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

③如圖4中，當(dāng)OK=KH時(shí)，設(shè)OK=KH=b，作OF⊥AB于F．

∵∠HBK=∠HKB=30°，
∴HB=KB=OK=b，
在Rt△OBF中，∵OB=$\sqrt{3}$，∠BF0=90°，∠OBF=30°，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BF=$\frac{3}{2}$，
∵∠KOH=∠OHK=75°，∠BHK=120°，
∴∠FHO=45°，
∴FH=OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=BH=BF+FH=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OK=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
綜上所述，當(dāng)△KOH為等腰三角形時(shí)，OK的長(zhǎng)為$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、菱形的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求 三角形的面積，學(xué)會(huì)用方程思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，考慮問(wèn)題要全面，屬于中考?jí)狠S題．