Question

2．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如下圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，3）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規律進行下去，第2012個正方形的面積為（　　）

• A． $\sqrt{10}$×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²
• B． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²
• C． 5×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²
• D． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²³

Answer 1

分析 根據點A、D的坐標求出OA、OD的長，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出A₁B，從而求出第二個正方形的邊長A₁C=A₁B₁，同理求出第三個正方形的邊長A₂C₁=A₂B₂，根據規律求出第2012個正方形的邊長，再根據正方形的面積公式列式計算即可得解．

解答 解：∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{10}$）²=10，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}$=$\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴CA₁=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴第三個正方形的邊長：A₂C₁=A₂B₂=（$\frac{4}{3}$）²$\sqrt{10}$，
∴第四個正方形的邊長：=（$\frac{4}{3}$）³$\sqrt{10}$，
…，
第2012個正方形的邊長：=（$\frac{4}{3}$）²⁰¹¹$\sqrt{10}$，
∴第2012個正方形的面積為[：（$\frac{4}{3}$）²⁰¹¹$\sqrt{10}$]²=10•（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²，
故選：B．

點評 本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，依次求出正方形的邊長是解題的關鍵，題目的計算量不小．